Généralité sur Méthode des Éléments Finis

Abstract

تُستخدم طريقة العناصر المحدودة على نطاق واسع لتحليل المشكلات الهندسية، ليس فقط بسبب ملاءمتها لحل مجموعة متنوعة من المشكلات. الفيزياء صيغت من حيث المعادلات التفاضلية الجزئية، ولكن أيضًا بسببها القدرة على التعامل مع الأشكال الهندسية المعقدة وشروط الحدود. ومع ذلك، هذا تمثل الطريقة بعض نقاط الضعف، والتي سيكون من الخطأ التقليل من أهميتها: - تعتمد طريقة العناصر المحدودة على الصيغة التغايرية للمعادلة إلى المشتقات الجزئية، ولكن ليس هناك بالضرورة صيغة مختلفة لـ أي معادلة تفاضلية جزئية. - الطريقة غير مناسبة للحل العددي للمعادلات غير الخطية. – تعقيد تنفيذ الطريقة. - تكلفة عالية في وقت الحساب والذاكرة. هناك العديد من الطرق العددية الأخرى لحل المعادلات التفاضلية الجزئية مثل طرق الحجم المحدود أو العناصر الحدودية المحدودة (أو الطريقة المتكاملة). Grale)، الطيفية، فورييه، الخ. لنتحدث على سبيل المثال عن طريقة الحجم المحدود، فهي الطريقة المفضلة معادلات الحفظ غير الخطية. تتكون هذه الطريقة من التكامل على وحدات التخزين الابتدائية، المعادلات المكتوبة في شكل متكامل. وهو أكثر فائدة من طريقة العناصر المحدودة نظرًا لأن تنفيذها بسيط مع الأحجام الأولية المستطيلة، كما أنه يجعل من الممكن معالجة الأشكال الهندسية الأكثر تعقيدًا ذات الأحجام من أي شكل. هذه طريقة مناسبة بشكل خاص لمعادلات ميكانيك السوائل. La méthode des éléments finis est largement utilisée pour l’analyse des problèmes dingénierie, non seulement en raison de son aptitude à résoudre une variété de problèmes physiques formulés en termes d’équations aux dérivées partielles, mais aussi en raison de sa capacité à gérer des géométries complexes et des conditions aux limites. Cependant cette méthode représente quelques points faibles, quil serait faux de sous-estimer : – La méthode des éléments finis s’appuie sur une formulation variationnelle de léquation aux dérivées partielles, mais Il n’existe pas forcement de formulation variationnelle pour toute équation aux dérivées partielles. – La méthode n’est pas bien adaptée à la résolution numérique d’équations non linéaires. – Complexité de mise en uvre de la méthode. – Grand coût en temps de calcul et mémoire. Il existe bien d’autres méthodes numériques de résolution d’équations aux dérivées partielles comme les méthodes de volumes finis, d’éléments finis de frontière (ou méthode inté- grale),spectrale, de Fourier, etc. Parlons par exemple de la méthode de volumes finis, c’est la méthode de choix pour les équations de conservation non linéaires. Cette méthode consiste à intégrer, sur des volumes élémentaires, les équations écrites sous forme intégrale. Elle est plus avantageuse que la méthode des éléments finis puisque sa mise en oeuvre est simple avec des volumes élémentaires rectangles, et elle permet de traiter des géométries plus complexes avec des volumes de forme quelconque. C’est une méthode particulièrement bien adaptée aux équations de la mécanique des fluides.