images numeriques des operateurs prpoietes et appliction

Abstract

Ce mémoire s’articule autour d’une notion spectrale assez importante, appelée l'image numérique des opérateurs. Dans le premier chapitre de ce mémoire on fournit quelques éléments de base sur les opérateurs. De plus nous donnons les définitions et quelques propriétés du spectre, résolvante d’un opérateur et quelques techniques opératorielles dont on aura besoin pour la suite. Le second chapitre est consacré à étudier l’image numérique et le rayon numérique d’un opérateur avec leurs propriétés et des exemples, en particulier l’image numérique des opérateurs dans un espace de dimension deux, et la relation entre l’image numérique et le spectre d’un opérateur. Dans le troisième chapitre on propose quatre parties: D’abord, nous exposons les classifications des images numériques d’une matrice avec quelques exemples et leurs figures. Ensuite, nous démontrons l’égalité avec et deux matrices carrées de dimensions finies. Aussi, nous exposons deux théorèmes qui lient entre le maximum de la partie réelle du spectre, la norme et le rayon numérique d’un opérateur, de plus on a pu extraire quelques corollaires de ce théorème. On termine ce chapitre par quelques théorèmes sur le rayon numérique du produit de deux opérateurs avec un exemple. Dans le dernier chapitre nous donnons un rappel sur la physique quantique avec quelques, définitions utiles pour faire la correspondance entre la mécanique quantique et la théorie des opérateurs, précisément on applique les notions de l’image numérique pour étudier le mouvement des particules dans une boite.This dissertation is based on a relatively interesting spectral notion, called numerical range of operators. In the first chapter some basic elements are provided on operators. We give the definition and some properties for a spectrum, resolvent of an operator and few technics of operators that will be needed to the following. The second chapter is devoted to study the numerical range and numerical radius of operators with their properties and examples, especially the numerical range of the operators in a space of dimension two, and the relationship between the numerical range and the spectrum of an operator. In the third chapter we propose four parts: First, we outline the classifications of numerical range of a matrix with some examples and figures. Next, we demonstrate the equality with and are two square finite matrices. Also, we present two theorems which link the maximum of the real part of spectrum, the norm and the numerical radius of an operator, and we were able to extract some corollaries of this theorem. In the end of this chapter we discus some theorems on the numerical radius of product of two operators with an example. In the last chapter we give a reminder about quantum physic with some definitions useful for correspondence between quantum theory and operator theory, precisely the notions of the numerical range is applied to study the movement of particles in a box