Existence et multiplicit ́e des solutions d’une classe d’ ́equations int ́egrales et applications

Abstract

Notre but dans ce mémoire, est d’étudier l’existence et la multiplicité des solutions pour l’équation intégrale non linéaire de Hammerstein suivante : u(t) = Z Γ k(t, s)f(s, u(s))ds , t ∈ Γ,

où Γ est un sous-ensemble fermé borné de R n , dans l’espace de Hilbert réel L 2 (Γ). Sous certaines conditions sur l’opérateur linéaire K, et des autres sur la non linéarité f, on démontre que l’équation intégrale ainsi définie admet au moins une solution, une unique solution où une infinité de solutions. Pour ceci les outils mathématiques utilisés sont le principe de l’opérateur monotone et la théorie du point critique, en particulier en utilisant le théorème linking. De plus, l’opérateur racine carré de l’opérateur de K et ses propriétés jouent un rôle important.In this paper, we studied the exsistence and multiplicity of solutions for the following Hammer- stein nonlinear integral operator equation:

u(t) = Z Γ k(t, s)f(s, u(s))ds , t ∈ Γ,

where Γ is a bounded closed subset of R n , in the real Hilbert space L 2 (Γ). Under certain conditions on the linear operator K, we establish some others conditions on the nonlinearity f which are able to guarantee that the equation mentioned admits at least one solution, a unique solution or infinitely many solutions. For this we used the monotone operator principle and the critical point theory, in particular using the linking theorem, Also the quadratic root operator K1/2

and its properties play an important