La Méthode des Eléments Finis de Galerkin Appliquée aux Equations de Maxwell

Abstract

Dans ce travail on a présenté la méthode des éléments finis de Galerkin pour les équations de Maxwell. Cette méthode n’est autre que l’intégration du principe de discrétisation en éléments finis dans la méthode de Galerkin standard. Les équations de Maxwell ou de l’électromagnétisme sont des équations aux dérivées partielles. Elles exposées d’une manière non exhaustive dans le chapitre 1. Et tant que dans le domaine de l'analyse numérique, la méthode de Galerkin est parmi les meilleures méthodes qui permettent de transformer un problème continu, comme les équations aux dérivées partielles, en un problème discret, on a exposé dans le chapitre 2 le principe de cette méthode. En outre, cette méthode est présentée en formulation faible. Celle-ci est très utilisée lorsqu’on passe de la solution exacte à la solution approchée avec une discrétisation du domaine en éléments finis. En fait, la solution approchée, d’après la méthode de Galerkin, est une combinaison linéaire de fonctions de base bien choisies. Afin d’avoir une authenticité de cette philosophie, on a exposée la méthode adoptée d’une façon mathématique dans le chapitre 3. L’implémentation numérique de la méthode en question, a été étalée dans le chapitre 4 pour différentes structures à savoir : structures unidimensionnelles et structures bidimensionnelles. On a constaté de ce travail que la méthode étudiée donne des bons résultats si on augmente le nombre des éléments du maillage pour des fonctions d’interpolation linéaires. Et si on utilisait des fonctions quadratiques on retrouverait aussi des bons résultats même si le nombre d’élément est petit. Pour bien connaitre le comportement exact de la méthode des éléments finis de Galerkin, pour un problème donné, on propose comme perspectives de l’étudier pour des fonctions d’interpolation polynômiales de degrés supérieurs 2. في هذا العمل قدمنا ​​طريقة جاليركين للعناصر المحدودة لمعادلات ماكسويل. هذه الطريقة ليست سوى التكامل مبدأ تقدير العناصر المحدودة في طريقة جاليركين معيار. معادلات ماكسويل أو الكهرومغناطيسية هي معادلات مع المشتقات الجزئية. يتم تقديمها بطريقة غير شاملة في الفصل 1. وما دام في مجال التحليل العددي فإن طريقة يعد Galerkin من بين أفضل الطرق التي تسمح لك بتحويل ملف مسألة مستمرة، مثل المعادلات التفاضلية الجزئية، في مسألة واحدة منفصلة، ​​شرحنا في الفصل 2 مبدأ هذه الطريقة. بالإضافة، وقد تم تقديم هذه الطريقة بصيغة ضعيفة. يستخدم هذا على نطاق واسع عندما ننتقل من الحل الدقيق إلى الحل التقريبي ب تقسيم المجال إلى عناصر محدودة. في الحقيقة الحل تقريبي وفقا لطريقة جاليركين، هو مزيج خطي من وظائف أساس مختار جيدا. ومن أجل الحصول على صحة هذه الفلسفة، علينا وأوضح الطريقة المعتمدة بطريقة رياضية في الفصل 3. تم عرض التنفيذ العددي للطريقة المعنية في الفصل الرابع للهياكل المختلفة وهي: الهياكل أحادية البعد و الهياكل ثنائية الأبعاد. وقد لوحظ من هذا العمل أن الطريقة المدروسة تعطي خيرا النتائج إذا قمنا بزيادة عدد عناصر الشبكة للوظائف الاستيفاء الخطي. وإذا استخدمنا الدوال التربيعية فإننا سيجد أيضًا نتائج جيدة حتى لو كان عدد العناصر صغيرًا. لفهم السلوك الدقيق لطريقة العنصر جاليركين المحدود، لمشكلة معينة، نقترحها كوجهات نظر دراستها لدوال الاستيفاء متعدد الحدود ذات الدرجات العليا 2.