Images numériques des opérateurs, spectres étendus et interactions

Abstract

هذه الرسالة مخصصة لدراسة العلاقة بين مفهومين أساسيين في نظرية المؤثرات ألا وهما الصورة الرقمية والطيف الممدد كذلك دراسة بعض خواصهم . تطرقنا لدراسة الصورة الرقمية لصورة مؤثر باستخدام دالة محدبة ثم دالة كثير حدود، حيث وجدنا أنه بإمكاننا تعميم بعض الخواص العامة والتي كانت معروفة فقط من أجل الصورة الرقمية العادية أو الكلاسيكية.\\ أيضا قدمنا بعض المتباينات التي لها علاقة بنصف القطر الرقمي والنظيم لمؤثر خطي ومحدود في فضاء هلبرتي.\\ نظرا لأهمية الطيف الأساسي وتطبيقاته المتعددة في شتى المجالات، إرتأينا دراسة العلاقة بين الطيف الممدد والأساسي، هذه العلاقة مكنتنا من تعريف الطيف الممدد لمجموع مؤثرين خطيين ومحدودين في فضاء هلبرتي.\\ في الفصل الأخير، تناولنا بعض الأمثلة التي تمكنا فيها من حساب الصورة الرقمية ونصف القطر الرقمي والطيف الممدد، أيضا وقدمنا بعض التطبيقات لنتائج تحصلنا عليها في الأجزاء الأولى Cette Thèse s'inscrit dans le domaine de la théorie des opérateurs et plus pariculièrement autour de deux notions assez récentes appelées image numérique et spectre étendu des opérateurs linéaires bornés dans un espace de Hilbert H. Nous nous intéressons à l'étude de l'image numérique des fonctions d'opérateurs dans certains cas particuliers, tels que le cas des fonctions convexes et polynomiales, ou nous introduisons une généralisation des quelques propriétés de l'image numérique classique, aussi nous donnons quelques inégalités de rayon numérique des fonctions d'opérateurs. Egalement nous traitons les inégalités liées au rayon numérique. La notion du spectre essentiel est très récente et admet plein d'applications dans d'autres domaines, pour cela nous traitons la relation entre le spectre essentiel et étendu. De plus, grâce à cette relation nous trouvons une définition du spectre étendu de la somme de deux opérateurs. Dans la dernière partie, nous donnons quelques exemples o\`u nous calculons l'image et le rayon numérique et le spectre étendu de quelques opérateurs, aussi nous appliquons quelques théorèmes de nos résultats, ainsi nous trouvons des relations entre l'image numérique et le spectre étendu.