التكاملات على المسار وتطبيقاتها في الأنظمة الكمية المبددة

Abstract

" يقدم التكامل على المسار أداةً رياضية ووجهة نظر بديلة لفهم ودراسة ميكانيك الكم. بالإضافة إلى تطبيقاته الكثيرة والمعروفة لدراسة الظواهر الكمية في الأنظمة المغلقة على كافة المستويات، أثبت التكامل على المسار أنه أداة فعالة وأنيقة في آن واحد لمعالجة الأنظمة المبدّدة أيضا، حيث أن ظاهرة التبدّد ناتجة عن وصل النظام بمحيطه والذي يتسبب في إنتقال غير عكوس للطاقة من النظام إلى المحيط، تخامد وتأرجح النظام بالإضافة إلى ظاهرة تلاشي الترابط .

في هذه المذكرة نقدم مراجعة لطريقة التكامل على المسار كأداة رياضية بديلة لدراسة ميكانيك الكم، ونستعملها لدراسة نموذج للأنظمة المبدّدة، وهذا بعد معالجته باستعمال تمثيل هايزينبيرغ. هذا النموذج الذي ستتمحور حوله دراستنا يتمثل أساسا في نظام كمي مرتبط مع محيطه، حيث المحيط يُؤخذ على أنه خزان حراري من الهزازات التوافقية. بعد التخلص من درجات حرية المحيط، عبر مكاملتها في صياغة التكامل على المسار، نحصل على دالة فعل فعالة تصف الحالة الديناميكية للنظام المفتوح بواسطة مصفوفة كثافة مختزلة معبر عنها بواسطة دالة الفعل الجديدة ( الفعالة). "" Path integral is a mathematical tool which offers an alternative view point for quantum mechanics. In addition to its wide and well known use to study quantum phenomena in closed systems at all levels, it has proven to be a powerful and elegant tool to investigate dissipative systems as well. Dissipation results from the coupling of the system to its environment which causes an irreversible transition of energy from the system to the environment, damping and fluctuating of the system and decoherence phenomenon.

In this dissertation we review the path integral approach to quantum mechanics and employ it to study a specific dissipative model, after describing it within Heisenberg picture. The model on which we focus is a system coupled to its environment taken to be thermal reservoir of harmonic oscillators. By integrating out the environment degrees of freedom an effective action weighting the paths of the open quantum system in the functional integral description is obtained, thereby describing the state and dynamics of this system from the equilibrium reduced density matrix constructed using this action. "