Green’s Function Approach to Entanglement Entropy on Fuzzy Spaces

Abstract

Résumé : فرنسية أو انجلزية

In this dissertation, we introduce a novel Euclidean Green function approach to compute Rényi entropy on lattices and fuzzy spaces. Rényi entropy for an arbitrary subset of coupled harmonic oscillators is written as a zero temperature partition function generated by an Euclidean action with n-fold step potential. The associated Green’s function is explicitly constructed and an alternative new formula for Rényi entropy is obtained. The developed approach allows one to go beyond the Gaussian case and systematically investigate interacting theories, which represents a real advance and paves the way for the investigation of entanglement entropy on lattices and fuzzy spaces for interacting theories. This approach is further applied to several systems with a focus on 1+1 scalar field theory. The case of half space entanglement was obstructed by the necessity to invert a special class of Toeplitz matrices. An asymptotic inverse for this class of matrices is conjectured and several analytical and numerical tests are in favor of its truthfulness. We finally outline how this approach can be used to investigate entanglement entropy for free and interacting scalar field theory on fuzzy spaces. الملخص:

في هذه الأطروحة تم تقديم مقاربة إقليدية عن طريق دالة Green لحساب دالة Rényi في الشبكات و في الفضاءات اللاتبادلية. تمت صياغة دالة Rényi لمجموعة جزئية من الهزازات التوافقية على شكل دالة توزيع في درجة حرارة منعدمة، دالة التوزيع تتولد عن طريق فعل اقليدي له كمون عتبة بـn طية. تم استخراج العبارة الصريحة لدالة Green وإيجاد صيغة جديدة بديلة لدالة Rényi. المقاربة المستحدثة لا تسمح بدراسة الحالات الحرة وحسب بل وتسمح بتقصي الحالات المتفاعلة وهو ما يمثل تقدما حقيقيا ويمهد الطريق لتقصي انتروبي التشابك على مستوى الشبكات والفضاءات اللاتبادلية في حالة وجود كمون تفاعلي. تم استخدام هذه المقاربة لدراسة عدد من الأنظمة مع التركيز على الأنظمة في نظرية الحقول الكمية ذات البعد 1+1. دراسة التشابك للنظام المكون من نصف الفضاء تمت عرقلتها بسبب غياب المعرفة بمقلوب نوع معين من مصفوفات Toeplitz. في هذا الصدد، تم تخمين مقلوب مقارب لهذا النوع من المصفوفات وتم تدعيم هذا التخمين بعدد من التمحيصات والفحوص النظرية والعددية. في النهاية، تم تقديم نظرة عامة لكيفية استخدام المقاربة الجديدة لتقصي انتروبي التشابك في نظرية الحقول الكمية الحرة والمتفاعلة على مستوى الفضاءات اللاتبادلية.