The Maximum Norm Analysis of a Nonmatching Grids Method for Nonlinear Parabolic PDES with bilaplacian operator

Abstract

The aim of this thesis is to present the reader with some very effective methods for provin existence results to some classes of nonlinear partial differential equations. In the first and second chapters we give the reader some basic definitions, theorems and numerical methods to prove a maximum norm analysis of a finite element Schwarz alternating method for a nonlinear parabolic PDEs.

In the third and fourth chapters we provide a maximum norm analysis of a finite element Schwarz alternating method for a class of nonlinear parabolic biharmonic equation (resp. p(x)-Laplacien equation) on two overlapping subdomains with nonmatching grids. We consider adomain which is the union of two overlapping subdomains where each subdomain has its own independently generated grid. The two meshes being mutually independent on the overlap region,a triangle belonging to one triangulation does not necessarily belong to the other one. Under a Lipschitz assumption on the non-linearity, we establish, on each subdomain, an optimal L1-error estimate between the discrete Schwarz sequence and the exact solution of the PDEs الهدف من هذه الاطروحة هو تزويد القارئ ببعض الطرق الفعالة لإثبات وجود النتائج لبعض المعادلات التفاضلية الغير خطية .حيث في الفصل الاول والثاني لقد قدمنا الى القارئ بعض التعاريف والنظريات والطرق العددية لإثبات تحليل النظم القصوى بطريقة شوارز التناوبية للمعادلات التفاضلية الغير خطية. أما في الفصل الثالث والرابع فقد قمنا باثبات تحليل النظم القصوى لطريقة شوارز للعناصر المنتهية الى صنف المعادلات بيهارمونيك (على التوالي معادلات (p(x لابلاص)على مجالين جزئيين مقسمين مع وجود تداخل بينهما . ندرج المجال الذي بدوره هو اتحاد المجالين المتداخلين بحيث كل مجال جزئي تقسيمه غير متداخل مع تقسيم المجال الاخر. بحيث تكون الشبكتان مستقلتان بشكل متبادل في منطقة التداخل حيث أن كل مثلث موجود في مجموعة مثلثات احدهما ليس بالضرورة أن يكون موجود في الاخرى. تحت فرضيتنا حول كون الغير خطي يحقق شرط ليبشيتز لقد نجحنا في تقديم على كل مجال جزئي تقدير الخطأ للنظم القصوى بين متتالية شوارز المجزئة و الحل الحقيقي للمعادلات التفاضلية الغير خطية