Behavior of Solutions to Some Systems of Differential Equations of Non-Integer Order: Comparison and Maximum Principle of Non-Integer Order: Comparison and Maximum Principle

Abstract

In this thesis, we study a new problem known as the Cauchy problem for nonlinear differential equations of fractional order containing the weighted Riemann-Liouville fractional derivative of a function with respect to another function. This problem generalizes the well-known Cauchy-type problems involving Riemann-Liouville fractional derivatives. Initially, we demonstrated the equivalence of this problem with the nonlinear Volterra integral equation of the second kind. Subsequently, we investigated the existence and uniqueness of the solution to the given Cauchy problem, establishing proof through the utilization of Banach’s fixed point theorem and the method of successive approximations. In addition, we have developed comparison theorems for fractional differential inequalities, these inequalities involve weighted Riemann-Liouville differential operators of a function with respect to functions of order p, 0 < p < 1. Which is essentially based on a new estimate of the weighted Riemann Liouville fractional derivative of a function with respect to functions at their extreme points obtained. Lastly, we concluded with a summary highlighting our contributions to this thesis, as well as, some possible open problems to be investigated in the future as new research directions.

في هذه الأطروحة قمنا بدراسة مسألة جديدة تعرف بمسألة كوشي للمعادلات التفاضلية غير الخطية ذات الرتبة الكسرية التي تحتوي على المشتقة الكسرية لريمان-ليوفيل الموزونة لدالة بالنسبة لدالة أخرى. تعتبر هذه المسألة تعميً ما لمسائل كوشي المعروفة التي تتضمن مشتقات ريمان-ليوفيل الكسرية. في البداية، أثبتنا تكافؤ هذه المسألة مع معادلة فولتيرا التكاملية غير الخطية من النوع الثاني. بعد ذلك، قمنا بالتحقق من وجود وتفرد الحل لمسألة كوشي المعطاة، وإثبات ذلك من خلال استخدام نظرية النقطة الثابتة لبناخ. بالإضافة إلى ذلك، قمنا بتطوير نظريات مقارنة للمتباينات التفاضلية الكسرية، تتضمن هذه المتباينات عوامل تفاضل ريمان-ليوفيل الموزونة لدالة فيما يتعلق بدالة أخرى، ذات الترتيب الكسري، p،0 < p < 1والتي تعتمد أساًسا على تقدير جديد لمشتق ريمان-ليوفيل الكسري الموزون للدالة فيما يتعلق بالدالة اخرى عند النقاط القصوى والذي بدوره تم اثباته. أخيرا، اختتمنا بملخص يسلط الضوء على مساهماتنا في هذه الأطروحة، بالإضافة إلى بعض المسائل المفتوحة المحتملة التي سيتم التحقيق فيها في المستقبل باعتبارها اتجاهات بحثية جديدة