Mesure de non compacité et ses applications à l’étude des certaines équations différentielles

Abstract

Dans ce travail, nous tenterons de présenter les résultats que nous avons obtenus grâce à notre étude de l'existence de solutions à certains des différents types de problèmes de différentiel équations. Y compris les équations différentielles ordinaires d'ordre entier avec conditions initiales et conditions aux limites, les équations différentielles d'ordre fractionnaire impliquant des dérivées de Caputo et des dérivées de Riemann-Liouville avec des conditions aux limites et d'autres équations intégro-différentielles dans des espaces de Banach pourvus de leurs topologies faibles sur des domaines bornés. L'outil principal utilisé dans les considérations est la combinaison de la technique de mesure de la non-compacité avec des théorèmes à virgule fixe de type Darbo et Mönch. Cette technique est souvent utilisée dans plusieurs branches de l'analyse non linéaire. Surtout cette technique a prouvé qu'elle est un outil très utile dans l'existence de solutions de plusieurs types d'équations différentielles. في هذا العمل حاولنا تقديم النتائج التي تحصلنا عليها في دراستنا لوجود الحلول لبعض الأنواع المختلفة من مسائل المعادلات التفاضلية، بما في ذلك المعدلات التفاضلية ذات الرتب الصحيحة مع الشروط الابتدائية أو الشروط الحدية و المعادلات التفاضلية ذات رتب كسرية التي تنطوي الاشتقاق بمفهوم كابيتو و مفهوم ريمان ليوفيل مع الشروط الحدية وغيرها من الشروط التكاملية في فضاءات بناخ المقدمة مع طبولوجياتها الضعيفة. أداتنا الرئيسية هي تقنية هي تقنية القياس عدم المتراص مع نظرية النقطة الثابتة و خاصة نظرية النقطة الثابتة لداربو و مونك والتي غالبا ما تستخدم هذه التقنية في عدة فروع للتحليل غير الخطي. و أثبتت هذه التقنية أنها أداة ناجعة جدا في إثبات وجود الحلول للمعادلات التفاضلية.